Обоснуйте, что посреди всех 7 целых чисел найдутся одно либо несколько,

1. Пусть задана последовательность 7 целых чисел:

      ai, i = 1, 2, ... , 7.

   И пусть:

      si, i = 1, 2, ... , 7 - сумма первых i чисел этой последовательности.

1. Если одно из 7 чисел si делится на 7, то условие задачи выполнено, и утверждение тем самым подтверждено.
2. Если же нет, то, так как чисел всего семь, а остатков - 6, посреди их найдутся хотя бы два числа si и sj (i lt; j) с одинаковыми остатками. Тогда их разность, равная сумме:

      sj - si = a[i + 1] + ... + a[j],

будет делиться на 7.

   Что и требовалось обосновать.