3x16^x + 2x81^x=5x36^x

3 * 16^x + 2 * 81^x = 5 * 36^x.

Представим ступени в виде ступеней с основанием 4 либо 9:

3 * (4)^x + 2 * (9)^x = 5 * (4 * 9)^x.

3 * 4^2x + 2 * 9^2x = 5 * 4^x * 9^x.

Перенесем все в левую часть:

3 * 4^2x - 5 * 4^x * 9^x + 2 * 9^2x = 0.

Поделим все уравнение на 9^2x:

3 * 4^2x/9^2x - 5 * 4^x * 9^x/9^2x + 2 * 9^2x/9^2x = 0.

3 * (4/9)^2x - 5 * 4^x/9^x + 2 = 0.

3 * (4/9)^2x - 5 * (4/9)^x + 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть (4/9)^x  = а.

3а - 5а + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5) - 4 * 3 * 2 = 24 - 24 = 1 (D = 1);

х₁ = (5 - 1)/(2 * 3) = 4/6 = 2/3.

х₂ = (5 + 1)/6 = 6/6 = 1.

Возвращаемся к подмене (4/9)^x  = а.

а = 2/3; (4/9)^x  = 2/3; (2/3)^2х  = (2/3)¹; 2х = 1; х = 1/2.

а = 1; (4/9)^x  = 1; (4/9)^x  = (4/9)⁰; х = 0.

Ответ: корешки уравнения одинаковы 0 и 1/2.