х^3 + y^3=1, x^2 +xy + y^2=7. (система)

Преобразуем первое уравнение, получим:

(x + y) * ((x + y) - 3 * x * y) = 1.

Второе уравнение будет таким:

(x + y) - x * y = 7.

Подмена x + y = a, x * y = b, получим:

a * (a - 3 * b) = 1 и a - b = 7,

b = a - 7,

-2 * a + 21 * a - 1 = 0,

a - (21/2) * a + 1/2 = 0.

Используем тригонометрическую подстановку Виета:

p = -21/2 lt; 0, q = 1/2;

дискриминант: D = p/27 + q/4 = -685/16 lt; 0, =gt; 3 вещественных решения:

R = (p/3) = 3.5,

= arccos (q / (2 * R)),

a1 = -2 * R * cos (/3),

a2 = -2 * R * cos (/3 + 120),

a3 = -2 * R * cos (/3 + 240);

b = a - 7,

b1 = a1 - 7,

b2 = a2 - 7,

b3 = a3 - 7.

Получим 3 системы:

1. x + y = a1 и x * y = b1, решений нет.

2. x + y = a2 и x * y = b2, решений нет.

3. x + y = a3 и x * y = b3, решения (-2.621615028055623; 2.669244497323022), (2.669244497323022; -2.621615028055623).