Найдите корешки уравнения sin3x+cos3x=0, принадлежащие отрезку [0;6]

1. Осмотрим тригонометрическое уравнение sin(3 * x) + cos(3 * x) = 0. Анализ данного уравнения указывает, что его левая часть представляет собой приватный вид тригонометрического выражения a * sin + b * cos, которое после легких преображений приводится к виду (a + b) * sin( + ), где угол, значение которого можно найти, используя 1-го из равенств cos = a / (a + b)  либо sin  = b / (a + b)  либо же tg = b / a. Для нашего выражения a = b = 1, следовательно, tg = b / a = 1/1 = 1, откуда = /4.
2. После внедрения теоретического материала из п. 1, данное уравнение получит слелующий вид 5 * sin(3 * х + /4) = 0 либо sin(3 * х + /4) = 0. Воспользуемся решением простого тригонометрического уравнения sinx = 0, которое можно оформить так: x = * k, где k Z, Z огромное количество целых чисел. Для приобретенного уравнения, имеем: 3 * х + /4 = * k, откуда х = -/12 + (/3) * k. Сейчас посреди отысканных решений разыскиваем те, которые принадлежат промежутку [0; 6]. Если таковые имеются, то они обязаны удовлетворять следующему двойному неравенству 0 -/12 + (/3) * k 6.
3. Решим приобретенное двойное неравенство условно k Z. Имеем /12 /3 * k 6 + /12. Умножая все доли на 3/, получим: k 18/ + .
4. Докажем, что 5,25 lt; 18/ + lt; 6. Поначалу докажем левое неравенство, то есть, неравенство 5,25 lt; 18/ + . Как знаменито, lt; 3,15, откуда 5 * lt; 15,75. Используя неравенство 15,75 lt; 18, перепишем заключительнее неравенство в виде 5 * lt; 18, откуда 5 lt; 18/ или 5,25 lt; 18/ + . Теперь докажем правую часть двойного неравенства. Как знаменито 3,14 lt; либо 23 * 3,14 lt; 23 * , откуда 72,22 lt; 23 * . Используя неравенство 72 lt; 72,22, перепишем заключительное неравенство в виде 72 lt; 24 * либо 72 + lt; 24 * . Поделив обе доли этого неравенства на 4 * , получим 18/ + lt; 6.
5. Возвращаясь к последнему неравенству из п. 3 и беря во внимание доказанное двойное неравенство, получим его последующие целые решения: 1; 2; 3; 4 и 5. Следовательно, подходящими корнями данного уравнения будут: /4; 7 * /12; 11 * /12; 5 * /4 и 19 * /12.

Ответ: /4; 7 * /12; 11 * /12; 5 * /4 и 19 * /12.