Найдите все значения х, при каждом из которых производная функция у=х^3-6x^2+9x-11

Для начала найдем производную функции, результатом взятия производной обязана получиться квадратичная функция:

у = х³ - 6 * x² + 9 * x - 11;  

у = (х³ - 6 * x² + 9 * x - 11) = (х³) - (6 * x²) + (9 * x) - (11) = 3 * х^{3 - 1} - 6 * 2 * x^{2 - 1} + 9 - 0 = 3 * х² - 12 * x + 9;

Приравняем полученную квадратичную функцию нулю и найдем корни уравнения - их будет не более 2-ух:

 3 * х² - 12 * x + 9 = 0;

Вынесем общий множитель и отбросим его - он не воздействует на результаты решения:

 3 * (х² - 4 * x + 3) = 0;

х² - 4 * x + 3 = 0;

Согласно аксиоме Виета, уравнение можно представить:

(х - 3) * (х - 1) = 0;

Приравняв каждый множитель нулю, получим корни уравнения:

х - 3 = 0;

х = 3;

х - 1 = 0;

х = 1;

Решать можно было и через дискриминант, так как уравнение приведено к виду a * x² + b *x + c = 0. Вернемся к начальному уравнению, приобретенному при взятии производной и проверим свои вычисления: 

3 * х² - 12 * x + 9 = 0;

То есть а = 3; b = -12; с = 9.

Такое уравнение имеет 2 решения:

x = (- b +/- (D)) / (2 * a);

D = b² 4 * a * c = (-12)² 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36

x₁ = (- b - (D)) / (2 * a) = (12 36) / (2 * 3) = (12 - 6) / 6 = 1;

x₂ = (- b + (D)) / (2 * a) = (12 + 36) / (2 * 3) = (12 + 6) / 6 = 3.

Производная начальной функции одинакова нулю в точках x₁ = 1 и x₂ = 3.