Дана арифметическая прогрессия (a n),где а n=2n+1. Найдите сумму ее членов

1. В задании утверждается, что последовательность чисел a_n = 2 * n + 1 является арифметической прогрессией и нужно найти сумму её членов с 11-го по 20-й включительно. Вначале, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, проверим, вправду ли данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. Сообразно этого свойства, последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, не считая первого (и заключительного, в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предшествующего и следующего членов. Пусть n = 2, 3, 4, . Имеем: (a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2 = (2 * (n 1) + 1 + 2 * (n + 1) + 1) / 2 = (2 * n 2 + 1 + 2 * n + 2 + 1) / 2 = (4 * n + 4) / 2 = 2 * (2 * n + 1) / 2 = 2 * n + 1 = a_n. Утверждение задания подтвердилось.
2. Вычислим a₁ = 2 * 1 + 1 = 2 + 1 = 3 и шаг (разность) d = a_{n + 1} a_n = 2 * (n + 1) + 1 (2 * n + 1) = 2 * n + 2 + 1 - 2 * n 1 = 2.
3. Явно, что искомую сумму (обозначим её через S₁₁₂₀) членов с 11-го по 20-й включительно можно отыскать как разность сумм S₂₀ (первых 20 членов) и S₁₀ (первых 10 членов). Используя формулу суммы S_n первых n членов арифметической прогрессии S_n = (2 * a₁ + d * (n 1)) * n / 2, получим S₂₀ = (2 * 3 + 2 * (20 1)) * 20 / 2 = (6 + 38) * 20 / 2 = 44 * 20 / 2 = 440 и S₁₀ = (2 * 3 + 2 * (10 1)) * 10 / 2 = (6 + 18) * 10 / 2 = 24 * 10 / 2 = 120. Как следует, S₁₁₂₀ = S₂₀ - S₁₀ = 440 120 = 320.

Ответ: д) 320.