3x^2+5xy-4y^2=38 5x^2-9xy-3y^2=15 Решите систему

   1. Умножим 1-ое на -15, 2-ое на 38 и сложим:

• 3x^2 + 5xy - 4y^2 = 38;
  5x^2 - 9xy - 3y^2 = 15;
• -45x^2 - 75xy + 60y^2 = -570;
  190x^2 - 342xy - 114y^2 = 570;

• 145x^2 - 417xy - 54y^2 = 0;
• D = (417y)^2 + 4 * 145 * 54y^2 = 173889y^2 + 31320y^2 = 205209y^2 = (453y)^2;
• x = (417y 453y)/(2 * 145);
• x1 = (417y + 453y)/290 = 870y/290 = 3y;
• x2 = (417y - 453y)/290 = -36y/290.

   2. Подставим в 1-ое уравнение:

• 3x^2 + 5xy - 4y^2 - 38 = 0;
• 4y^2 - 5xy - 3x^2 + 38 = 0;

   1) x = 3y;

• 4y^2 - 5 * 3y * y - 3 * (3y)^2 + 38 = 0;
• 4y^2 - 15y^2 - 27y^2 + 38 = 0;
• -38y^2 + 38 = 0;
• 38y^2 = 38;
• y^2 = 1;

• [y = -1; x = -3;
• [y = 1; x = 3.

   2) x = -36y/290;

• 4y^2 - 5xy - 3x^2 + 38 = 0;
• 4y^2 + 5 * 36y/290 * y - 3 * (36y/290)^2 + 38 = 0;
• 4y^2 + 180/290 * y^2 - 3 * (36/290)^2 * y^2 + 38 = 0;
• 4y^2 + 180/290 * y^2 - 3 * 1296/290^2 * y^2 + 38 = 0;
• 336400y^2 + 52200y^2 - 3888y^2 + 38 * 290^2 = 0;
• 384712y^2 + 3195800 = 0 - нет решений.

   Ответ: (-3; -1), (3; 1).