Дан квадрат АВСD и точка О вне квадрата. Знаменито, что ОА

1. Осмотрим квадрат ABCD (см. http://bit.ly/ZTopsh4683). Пусть точка О размещена вне квадрата и ОА = ОВ = 5, ОD = (13). По требованию задания, вычислим площадь квадрата ABCD. Как знаменито, площадь квадрата S одинакова квадрату стороны, то есть, S = AB.
2. Прежде всего, заметим, что треугольник АОВ является равнобедренным треугольником, так как ОА = ОВ = 5. Тогда его вышина OF является и медианой. Следовательно, AF = FB = AB / 2.
3. Точку скрещения отрезка OF со стороной квадрата CD обозначим точку через Е. Так как при параллельном переносе сохраняется расстояние меж точками, то двигая точку А к D, а точку F к E, получим DE = AF = AB / 2. Констатируем ещё такой факт, что ЕF = AD = АВ.
4. Для краткости записи введём обозначения АF = х и OE = у. Тогда, ОF = ЕF + OE = 2 * х + у и DE = AF = х. Применим дважды теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам: OED и OFA. Имеем: ОD = DE + ОЕ и ОА = AF + OF или, в новых обозначениях и данных, ((13)) = x + у и 5 = x + (2 * х + у) либо x + у = 13 (1-ое уравнение) и 5 * x + 4 * х * у + у = 25 (2-ое уравнение). Решим полученную систему уравнений условно безызвестных х и у (с учетом физического смысла).
5. Используя 1-ое уравнение из второго получим 13 + 4 * x + 4 * х * у = 25 или x + х * у = 3, откуда х * у = 3 - x и х * (х + у) = 3. Возводим в квадрат обе доли последнего равенства: х * (х + у) = 9 либо х * (x + у + 2 * х * у) = 9, откуда х * (13 + 2 * (3 - x)) = 9. Упростим: 2 * х - 19 * х + 9. Это биквадратное уравнение имеет четыре корня: х₁ = -3; х₂ = 3; х₃ = -(2) / 2 и х₄ = (2) / 2. Отрицательные корешки отбросим сходу, как побочные.
6. Пусть х = 3. Тогда равенство х * (х + у) = 3 получит вид 3 * (3 + у) = 3 либо 3 + у = 1, откуда у = 1 3 = -2, что невероятно. Исследуем последний корень х = (2) / 2. В этом случае равенство х * (х + у) = 3 воспримет вид ((2) / 2) * (((2) / 2) + у) = 3 или (2) / 2 + у = 3(2), откуда у = 5(2) / 2. Приобретенный итог позволяет утверждать, что сторона квадрата ABCD одинакова АВ = 2 * АF = 2 * х = 2 * ((2) / 2) = (2). Как следует, его площадь S = AB = ((2)) = 2.

Ответ: 2.