log_5(x^2)+log_x(5)+3=0

1. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

log ₅ х² + log _х 5 + 3 = 0;

ОДЗ:

x gt; 0;

log ₅ х² + 1/log ₅ х + 3 = 0;

1. Вынесем показатель ступени за логарифм:

2log ₅ х + 1/log ₅ х + 3 = 0;

1. Выполним замену:

log ₅ х = t;

2t + 1/t + 3 = 0;

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:

(2t + 3t + 1)/t = 0;

2t + 3t + 1 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = 3 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1;

D 0, значит:

t1 = ( - b - D) / 2a = ( - 3 - 1) / 2 * 2 = ( - 3 - 1) / 4 = - 4 / 4  = - 1;

t2 = ( - b + D) / 2a = ( - 3 + 1) / 2 * 2 = ( - 3 + 1) / 4 = - 2 / 4  = - 1/2;

Подставим значения:

Если t1 = - 1, то:

log ₅ х = - 1;

log ₅ х = log ₅ 5 ^{( - 1)};

x = 5 ^{( - 1)};

x1 = 1/5;

Если t2 = - 1/2, то:

log ₅ х = - 1/2;

log ₅ х = log ₅ 5 ^{( - 1/2)};

x = 5 ^{( - 1/2)};

x1 = 1/5;

Ответ: х1 = 1/5, х2 = 1/5.