Решить уравнение: (2/3)^x-(3/2)^x=65/36

1. Чтоб решить показательное уравнение, воспользуемся свойством ступени:

(2/3)^x - (3/2)^x = 65/36;

(2/3)^x - (2/3)^(- x) = 65/36;

2. Для решения выполним подмену:

2/3^x = у gt; 0;

у - 1/у = 65/36;

у - 1/у - 65/36 = 0;

3.приведем к общему знаменателю 36у:

36у - 65у - 36 = 0;

4. Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 65) - 4 * 36 * 36 = 4225 + 5184 = 9407;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = ( 65 - 9407) / 2 * 36 = ( 65 - 97) / 72 = -32 / 72  = - 4/9, не подходит по условию;

у2 = ( - b + D) / 2a = ( 65 + 9407) / 2 * 36 = ( 65 + 97) / 72 = 162 / 72  = 9/4 ;

Найдем х:

2/3^x = у;

Если у = 9/4, то:

2/3^x = 9/4;

2/3^x = (3/2)^2;

2/3^x = (2/3)^(- 2);

Из равенства оснований следует:

x = - 2;

Ответ: х = - 2.