Решите уравнение 2ctg x * 3tg x + 5=0

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, применив главное тождество ctgx * tgx = 1:

2сtgx + 3tgx + 5 = 0;

2/tgx + 3tgx + 5 = 0;

1. Выполним подмену tgx = t:

2/t + 3t + 5 = 0;

(3t + 5t + 2)/t = 0;

3t + 5t + 2 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = 5 - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1;

D 0, означает:

t1 = ( - b - D) / 2a = ( - 5 - 1) / 2 * 3 = ( - 5 - 1) / 6 = - 6 / 6  = - 1;

t2 = ( - b + D) / 2a = ( - 5 + 1) / 2 * 3 = ( - 5 + 1) / 6 = - 4 / 6  = - 2/3;

1. Тогда, если t2 = - 2/3, то:

tgx =  - 2/3;

х = arctg( - 2/3) + n, n  Z;

х1 =  - arctg(2/3) + n, n  Z;

если t1 = - 1, то:

х = arctg( - 1) + n, n  Z;

х2 =  - arcctg(1) + n, n  Z;

х2 =  - /4 + n, n  Z;

Ответ: х1 =  - arctg(2/3) + n, n  Z, х2 =  - /4 + n, n  Z.