6cos^2 x/2+7sin x/2 -8 =0

Задействуем следствие из главного тригонометрического тождества, получаем:

6(1 - sin^2(x/2)) + 7sin(x/2) - 8 = 0;

-6sin^2(x/2) + 7sin(x/2) - 2 = 0.

Произведем подмену переменных t = sin(x):

6t^2 - 7t + 2 = 0.

Корешки квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются
по формуле: x12 = (-b +- (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (7 +- (49 - 4 * 6 * 2)) / 2 * 6 = (7 +- 1) / 12.

t1 = (7 - 1) / 12 = 1/2; t2 = (7 + 1) / 12 = 2/3.

Обратная замена:

tg(x) = 1/2;

x1 = arctg(1/2) +-  * n;

x2 = arctg(2/3) +-  * n.