Sin(2x)*cos(3x)=sin(4x)*cos(5x)

1.  Воспользуемся формулой творения тригонометрических функций:

sin2xcos3x = sin4xcos5x;

sin2x * cos3x = (sin (2x - 3x) + sin (2x + 3x))/2 = (sin (- x) + sin 5x)/2;

sin4x * cos5x = (sin (4x - 5x) + sin (4x + 5x))/2 = (sin (- x) + sin 9x)/2;

1. Подставим приобретенные значения и умножим на 2:

(sin (- x) + sin 5x)/2 = (sin (- x) + sin 9x)/2;

sin (- x) + sin 5x = sin (- x) + sin 9x;

1. Перенесем все значения в левую часть:

sin (- x) + sin 5x - sin (- x) - sin 9x = 0;

sin 5x - sin 9x = 0;

1. Воспользуемся формулой разности тригонометрических функций:

sin 5x - sin 9x = 2cos ((5x + 9х)/2) * sin((5x - 9х)/2) = 2cos ((14х)/2) * sin(( - 4х)/2) = - 2cos7х * sin2х;

= - 2cos7х * sin2х = 0;

1. Творение одинаково нулю, если:

1) - 2cos7х = 0;

cos7х  = 0;

7х = /2 + n, n  Z

х1 = /14 + /7 * n, n  Z;

2) sin2х = 0;

2х = m, m Z;

х2 = /2 * m, m Z;

Ответ: х1 = /14 + /7 * n, n  Z, х2 = /2 * m, m Z.