1) Отыскать координаты точек графика функции , в которых касательная параллельна

1) Производная в некоторой точке графика функции есть угол наклона касательной в этой точке.

Если касательная в некоторой точке графика функции параллельна оси x, то производная функции в этой точке = 0.

f (x) = (2 x⁵ - 5 x² + 1) = 10 x⁴ - 10 x = 0.

x (x³ - x) = x (x - 1) (x² + x + 1) = 0.

Действительные корни этого уравнения и есть искомые точки, в которых касательная параллельна оси x:

x₁ = 0;

x₂ = 1;

2) Уравнение касательной в точке x₀:

y = f (x₀) + f (x) (x - x₀).

a) x₀ = 2; f (2) = 7; f (2) = 3 x₀² - 4 x₀ = 4;

y = 7 + 4 (x - 2);

y = 4 x +1.

b) x₀ = 9; f (9) = 9 + 2 = 5; f (9) = 1/(29) = 1/6;

y = 5 + 1/6 (x - 9);

y = 7/2 + x/6.