1) Существует ли такие естественные числа m и n, что 0

   1. Решим двойное неравенство в естественных числах:

      0 lt; m/13 - n/8 lt; 0,01. (1)

   Умножим все доли неравенства на 8 * 13 = 104:

      0 lt; 8m - 13n lt; 1,04. (2)

   Поскольку 8m - 13n - целое число, то единственное вероятное значение, которое может принимать это выражение - единица:

      8m - 13n = 1. (3)

   Неравенство (3) имеет много решений:

• 1) n = 3; m = 5;
• 2) n = 11; m = 18;
• 3) n = 19; m = 31 и т. д.

   2. Если же уменьшим в два раза правую часть, то получим:

• 0 lt; m/13 - n/8 lt; 0,005;
• 0 lt; 8m - 13n lt; 0,52. (4)

   В промежутке (0; 0,52) нет целых чисел, означает нет целочисленных решений.