1) На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что

1) Осмотрим треугольники ABC, ABK и KBC. Основаниям AC, AK и KC подходит одна вышина h. Отсюда S_ABC = 1/2 * h * AC; S_ABK = 1/2 * h * AK; S_KBC = 1/2 * h * KC.

S_ABK / S_ABC = (1/2 * h * AK) / (1/2 * h * AC) = 6 / (6 + 9) = 2/5.

S_KBC / S_ABC = (1/2 * h * KC) / (1/2 * h * AC) = 9 / (6 + 9) = 3/5.

P_ABC / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42/2 = 21 (см).

S_ABC = (21 * (21 13) * (21 14) * (21 15))^(1/2) = (21 * 8 * 7 * 6)^(1/2) =

= (3 * 7 * 8 * 7 * 2 * 3)^(1/2) = (3^2 * 7^2 * 4^2)^(1/2) = 84 (см2).

S_ABK = 2/5 * S_ABC = 2/5 * 84 = 33,6 (см2).

S_KBC = 3/5 * S_ABC = 3/5 * 84 = 50,4 (см2).

Ответ: 33,6 см2 и 50,6 см2.

2) Верхушки данного треугольника обозначим A, B, и C, точку снутри треугольника - О. Искомые расстояния есть вышины треугольников ABO, BCO и ACO. Точки пересечения данных высот с подходящими гранями треугольников ABO, BCO и ACO обозначим D, E и F соответственно.

S_ABC = S_ABO + S_BCO + S_ACO;

1/2 * a * h = 1/2 * a * OD + 1/2 * a * OE + 1/2 * a * OF;

1/2 * a * h = 1/2 * a * (OD + OE + OF);

h = OD + OE + OF;

OD + OE + OF = 6 (см).

Ответ: 6 см.