1^2-2^2-3^2+4^2+5^2-6^2-7^2+8^2+...+97^2-98^2-99^2+100^2=

1. Дано выражение 1 2 3 + 4 + 5 6 7 + 8 + ... + 97 98 99 + 100, которого обозначим через А. Наличие знака равенства после данного выражения воспримем как Вычислить. Анализируя данное выражение, заметим, что в нём имеется алгебраическая сумма 100 последовательных квадратов чисел от 1 по 100.
2. Осмотрим выражение В = 2 3 + 4 + 5 6 7 + 8 + ... + 97. Несложно убедиться, что А = В + 1 98 99 + 100. Применим формулу сокращенного умножения (a b) * (a + b) = a² b² (разность квадратов). Тогда, имеем: А = В + 1 + 100 98 99 = В + 1 + (100 98) * (100 + 98) 99 = В + 1 + 2 * 198 99 = В + 1 + 99 * (2 * 2 99) = В + 1 99 * 95 = В + 1 (100 1) * 95 = В + 1 100 * 95 + 95 = В + 96 9500 = В 9404. Вычислим значение выражения В.
3. С этой целью, группируем слагаемые во выражении В следующим образом: 1-ое с последним, второе с предпоследним и так далее. Тогда, получим: В = [(97 2) + (96 3) (95 4) (94 5)] + [(93 6) + (92 7) (91 8) (90 9)] + + [(53 46) + (52 47) (51 48) (50 49)]. Несложно посчитать, что в последнем выражении имеются 12 пар квадратных скобок.
4. Имеем: В = [(97 + 2) * (97 2) + (96 + 3) * (96 3) (95 + 4) * (95 4) (94 + 5) * (94 5)] + [(93 + 6) * (93 6) + (92 + 7) * (92 7) (91 + 8) * (91 8) (90 + 9) * (90 9)] + + [(53 + 46) * (53 46) + (52 + 47) * (52 47) (51 + 48) * (51 48) (50 + 49) * (50 49)] = [99 * 95 + 99 * 93 99 * 91 99 * 89] + [99 * 87 + 99 * 85 99 * 83 99 * 81] + + [99 * 7 + 99 * 5 99 * 3 99 * 1]. В заключительном выражении каждое слагаемое имеет множитель 99 и таких слагаемых всего 12 * 8 = 96. Как следует, В = 99 * (95 + 93 91 89 + 87 + 85 83 81 + + 7 + 5 3 1).
5. Ещё раз группируем слагаемые в скобках по принципу из п. 3. Тогда, заключительное выражение для В воспримет вид В = 99 * [(95 1) + (93 3) (91 5) (89 7)] + [(87 9) + (85 11) (83 13) (81 15)] + + [(55 41) + (53 43) (51 45) (49 47)]. Несложно посчитать, что в заключительном выражении имеются 6 пар квадратных скобок.
6. Имеем: В = 99 * (94 + 90 86 82 + 78 + 74 70 66 + + 14 + 10 6 2) = 99 * 2 * (47 + 45 43 41 + 39 + 37 35 33 + + 7 + 5 3 1). Дальше, продолжая сортировки, получим: В = 198 * [(47 1) + (45 3) (43 5) (41 7)] + [(39 9) + (37 11) (35 13) (33 15) + (31 17) + (29 19) (27 21) (25 23)] = 198 * (46 + 42 38 34 + 30 + 26 22 18 + 14 + 10 6 2) = 198 * 2 * (23 + 21 19 17 + 15 + 13 11 9 + 7 + 5 3 1) = 396 * [(23 1) + (21 3) (19 5) (17 7) + (15 9) + (13 11)] = 396 * (22 + 18 14 10 + 6 + 2) = 396 * 2 * (11 + 9 7 5 + 3 + 1) = 792 * 12 = 9504.
7. Окончательно, А = В 9404 = 9504 9404 = 100.

Ответ: 100.