Решите уравнение: log9 по основанию (2 sinx + sin2x + 9)

1. Найдем ОДЗ логарифмического уравнения:

 log ₉ (2sin x + sin 2x + 9) = 1;

((2sin x + sin 2x + 9) gt; 0;

1. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

1 = 1 * log ₉ 9 = log ₉ 9;

log ₉ (2sin x + sin 2x + 9) = log ₉ 9;

1. Из равенства основания логарифмов следует равносильное равенство:

 2sin x + sin 2x + 9 = 9;

2sin x + sin 2x = 9 - 9;

2sin x + sin 2x = 0;

1. Используем формулу двойного аргумента тригонометрических функций:

sin2x = 2sinxcosx;

Подставим:

2sinx + 2sinxcosx = 0;

1. Вынесем общий множитель 2sinx за скобки:

sinx(2 + 2cosx) = 0;

Творение одинаково нулю, в том случае, если один из сомножителей равен нулю.

1) 1-ое уравнение:

sinx = 0;

Применим частный случай:

х1 = n, n  Z;

2) 2-ое уравнение:

2 + 2cosx = 0;

2cosx = 2;

cosx = 2/2;

x2 = arccos(2/2) + 2m, m Z;

х2 = /4 + 2m, m Z;

Ответ: х1 = n, n  Z, х2 = /4 + 2m, m Z;