Гипотенуза прямоугольного треугольника одинакова 8 см. Найдите длину каждого катета, если

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, одинаковой 8 см. По требованию задания, найдём длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наивеличайшей.
2. Катеты и гипотенузу данного прямоугольного треугольника обозначим, соответственно, через a, b и с. Тогда, сообразно условиям задания, с = 8, а катеты a и b безызвестны (тут и дальше в расчетах, до окончательного результата, опустим единицу измерения длины см).
3. Воспользуемся аксиомой Пифагора, формула которой для нашего задания может быть оформлена в виде равенства с = a + b либо, после подстановки 8 заместо гипотенузы, 8 = a + b. Осмотрим заключительное равенство как уравнение условно 1-го катета (к примеру, условно катета b) и решим его. Тогда, имеем: b = 64 - a, откуда b = (64 - a). Так как катет прямоугольного треугольника не может быть отрицательной величиной, то получим: b = (64 - a).
4. Как известно, площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле S = * a * b, где a и b катеты прямоугольного треугольника. Подставляя в эту формулу заключительное выражение для b из предыдущего пт. Тогда, получим последующую функцию (от аргумента а) S(а) = * a * (64 - a). Таким образом, условия задания свелись к нахождению величайшего значения функции S(а) = * a * (64 - a) в промежутке (0; 8).
5. Для решения этой задачи применим приёмы дифференциального и интегрального исчисления. С этой целью, вычислим производную функции S(а) = * a * (64 - a). Имеем: S (а) = ( * a * (64 - a)) = * (a * (64 - a) + a * ((64 - a))) = * ((64 - a) + a * * (-2 * а / (64 - a))) = * (((64 - a)) - a * а) / (64 - a)) = * (64 - a - a) / (64 - a) = (32 - a) / (64 - a).
6. Приравнивая к нулю производную (S (а) = 0), определим стационарные точки (если, конечно, таковые существуют) функции S(а). Имеем: (32 - a) / (64 - a) = 0. Так как мы функцию S(а) рассматриваем интервале (0; 8), то знаменатель дроби в левой доли уравнения не может обращаться в 0. Следовательно, это уравнение можно переписать в виде 32 - a = 0. Это неполное квадратное уравнение условно а, имеет два различных корня а = (32) = 4(2). Явно, что корень а = -4(2) является побочным корнем. Значит, избираем корень а = 4(2).
7. Осмотрим два промежутка (0; 4(2)) и (4(2); 8). Несложно убедиться, что S (а) gt; 0 при а (0; 4(2)) и S (а) lt; 0 при а (4(2); 8). Это значит, что функция S(а) в точке а = 4(2) воспринимает наибольшее (величайшее) значение. Теперь просто вычислим иной катет прямоугольного треугольника: b = (64 - a) = (64 (4(2))) = (64 32) = (32) = 4(2). Заключаем: При равных катетах по 4(2) см каждый, площадь треугольника будет наивеличайшей.

Ответ: При равных катетах по 4(2) см каждый, площадь треугольника будет наибольшей.