Является ли последовательность (Xn) арифметической прогрессией, если сумма первых n ее

Если последовательность (Хn) является арифметической прогрессией, то имеем:

хn = x1 + d * (n - 1), где хn, х1 - n-ый член арифметической прогрессии и первый члены арифметической прогрессии, а d - ee разность.

S = (x1 + xn) * n / 2, где S - сумма n первых членов прогрессии.

Если данная (Хn) последовательность является арифметической прогрессией, то 

(x1 + xn) * n / 2 = n^2 - 8 * n = n * (n - 8),

x1 + xn = 2 * (n - 8),

x1 + x1 + d * (n - 1) = 2 * (n - 8),

2 * x1 - d + d * n = -16 + 2 * n.

Тогда, если d = 2,

2 * x1 - d = -16,

2 * x1 = -14,

x1 = -7.

Следовательно, арифметическая прогрессия с первым членом

х1 = -7 и разностью d = 2 удовлетворяет условию задачки.

Тогда пятый член этой последовательности:

х5 = х1 + 4 * d = -7 + 4 * 2 = 1.