Решите уравнение: 7+4sinx*cosx+1.5(tgx+ctgx)=0

1. Выполним преображение в скобках;

7 + 4sinxcosx + 1,5(tgx + сtgx) = 0;

tgx + сtgx = sinx/cosx + cosx/sinx = sinx/cosx * sinxcosx/sinxcosx + cosx/sinx * sinxcosx/sinxcosx  = (sinx + cosx )/cosxsinx = 1/ sinxcosx;

1. Подставим приобретенное значение:

7 + 4sinxcosx + 1,5(1/ sinxcosx) = 0;

7 + 4sinxcosx + 1,5/sinxcosx = 0;

1. Выполним замену sinxcosx = t:

7 + 4t + 1.5/t = 0;

(4t + 7t + 1.5)/t = 0;

4t + 7t + 1.5 = 0;

Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = b - 4ac = 7 - 4 * 4 * 1.5 = 49 - 24 = 25;

t1 = ( - b - D) / 2a = ( - 7 - 25) / 2 * 4 = ( - 7 - 5) / 8 = - 12 / 8  = - 3/2;

t2 = ( - b + D) / 2a = ( - 7 + 25) / 2 * 4 = ( - 7 + 5) / 8 = - 2 / 8  = - 1/4;

1) Eсли t1 = - 3/2:

sinxcosx = - 3/2;

Умножим на 2:

2sinxcosx = - 3/2;

Формула двойного довода:

sin2x = - 3/2, не имеет решений, так как sin2x lt; 1;

2) Eсли t = - 1/4:

sinxcosx = - 1/4;

Умножим на 2:

2sinxcosx = - 1/2;

Формула двойного довода:

sin2x = - 1/2;

2x = ( - 1) n arcsin( - 1/2) + n, n  Z;

Так как аргумент отрицательный, означает:

2x = - ( - 1) n arcsin(1/2) + n, n  Z;

2x = - ( - 1)ⁿ /6 + n, n  Z;

x = - ( - 1)ⁿ /12 + /2 * n, n  Z;

Ответ: x = - ( - 1)ⁿ /12 + /2 * n, n  Z.