2Решить неравенства: а) og3(3x-1) amp;lt; og 3(2x+3) б) og (x2+4)

1) Найдем ОДЗ:

log ₃ (3x - 1) lt; log ₃ (2x + 3);

3x - 1 gt; 0;

2x + 3 gt; 0;

3x gt; 1;

2x gt; - 3;

x gt; 1/3;

x gt; - 3/2;

x gt; 1/3;

x gt; - 1 1/2;

х (1/3; + );  

Заметим, что основания логарифмов 3 gt; 0. Из равенства основания логарифмов следует:

(3x - 1) lt; (2x + 3);

3x - 2х lt; 3 + 1;

х lt; 4;

Получим систему неравенств:

х gt; 1/3;

х lt; 4;

     ////////////////

---(1/3)---(4)---

/////////////

х (1/3; 4);

Ответ: х (1/3; 4).

2) log _1/2 (х + 4)  log _1/2 (2х + 7); 

Заметим, что основания логарифмов 0 lt; 1/2 lt; 1. Из равенства основания логарифмов следует:

х + 4 2х + 7;

х - 2x + 4 - 7  0;

х - 2x - 3  0;

Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 2) - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16;

D 0, означает:

х1 = ( - b - D) / 2a = (2 - 16) / 2 * 1 = ( 2 - 4) / 2 = - 2 / 2  = - 1;

х2 = ( - b + D) / 2a = (2 + 16) / 2 * 1 = ( 2 + 4) / 2 = 6 / 2  = 3;

Представим квадратное уравнение в виде творения 2-ух линейных множителей:

(х + 1)(х - 3)  0;

Найдем ОДЗ:

х + 4 gt; 0, выполняется при любом значении переменной;

2х + 7 gt; 0;

х gt; - 7/2;

x gt; - 3 1/2;

Получим систему:

(х + 1)(х - 3)  0;

x gt; - 3 1/2;

Воспользуемся способом промежутков:

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\             //////////

                      +          -        +

----( - 3 1/2)---(- 1)---(3)--- 

      \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\  

х ( - 3 1/2; - 1] [3; + );

Ответ: х ( - 3 1/2; - 1] [3; + );.