Найти точку на параболе y=x^2-3x+6,в которой касательная сочиняет угол 45(градусов) с

1. Рассмотрим функцию y = x - 3 * x + 6. Как знаменито, эта функция определена для всех х (-; +) и её графиком на координатной плоскости Оху является парабола с ветвями, направленными ввысь и верхушкой с координатами (3/2; 15/4). По требованию задания, сначала, на данной параболе найдём точку, в которой касательная сочиняет угол 45 с положительным направлением оси Ox.
2. Как знаменито, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ имеет вид: у = f(x₀) + f (x₀) * (x x₀). Для нашей функции f(x) = х 3 * х + 6, получим: f (x) = (х 3 * х + 6) = 2 * х - 3 и f (x₀) = 2 * x₀ - 3. Как следует, уравнение касательной к графику нашей функции f(x) в точке x₀ имеет вид: у = f(x₀) + (2 * x₀ 3) * (x x₀) = (x₀) - 3 * x₀ + 6 + (2 * x₀ 3) * х - (2 * x₀ 3) * x₀ = (2 * x₀ 3) * х - (x₀) + 6, то есть, у = (2 * x₀ 3) * х - (x₀) + 6. Приобретенное уравнение является уравнением с угловым коэффициентом, одинаковым 2 * x₀ 3.
3. По определению, угловой коэффициент прямой это тангенс угла наклона данной прямой. Беря во внимание условие задания о том, что касательная составляет угол 45 с положительным направлением оси Ox, имеем: 2 * x₀ 3 = tg45 = 1. Как следует, 2 * x₀ = 4, откуда x₀ = 4 : 2 = 2. Тогда, у₀ = f(x₀) = 2 3 * 2 + 6 = 4 6 + 6 = 4. Таким образом, разыскиваемая точка имеет координаты (2; 4). Соответственно, уравнение касательной: у = х + 2.
4. По требованию задания, уравнение нормали, проходящей через точку касания. Воспользуемся уравнением нормали к графику функции f(x) в точке x₀, которое имеет вид: у = f(x₀) (1 / f (x₀)) * (x x₀). Так как x₀ = 2, f(x₀) = 4 и f (x₀) = 1, то получим: у = 4 (1/1) * (х 2) либо у = -х + 6.

Ответы: (2; 4), у = х + 2 и у = -х + 6.