Найти точку минимума функции x^3+6x^2+15

1. Осмотрим функцию у = x + 6 * x + 15. Отметим, что данная функция определена и дифференцируема для всех х (-; +). По требованию задания, найдём точки минимума данной функции, если таковые есть. Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Как известно, нужным условием экстремума функции одной переменной в точке x* является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x* первая производная функции обязана обращаться в нуль.
2. Найдём первую производную данной функции: f (x) = (x + 6 * x + 15) = 3 * x + 12 * х. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 3 * x + 12 * х = 0 либо, уменьшая обе доли на 3, уравнение x + 4 * х = 0. Несложно убедиться, что это неполное квадратное уравнение имеет два реальных корня: x₁= -4 и x₂ = 
3. Для выяснения поведения функции в отысканных точках, осмотрим поведение производной в последующих трёх обильях: (-; -4), (-4; 0) и (0; +). Явно, что: при х (-; -4) производная f (x) gt; 0; при х (-4; 0) производная f (x) lt; 0 и при х (0; +) производная f (x) gt; 0.
4. Поскольку при переходе через точку х = -4 производная f (x) меняет собственный знак с плюса на минус, то точка x = -4 является точкой максимума функции. Вычислим значение данной функции при x = -4. Имеем: f(-4) = (-4) + 6 * (-4) + 15 = 47. Подобно, так как при переходе через точку х = 0 производная f (x) меняет собственный символ с минуса на плюс, то точка x = 0 является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 0. имеем: f(0) = 0 + 6 * 0 + 15 = 15.
5. Означает, точкой минимума данной функции является х = 0.

Ответ: Точкой минимума данной функции является х = 0.