Решите тригонометрические уравнения: 3tgx - 5ctgx + 14 = 0

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, применив основное тождество ctgx * tgx = 1:

3tgx - 5сtgx + 14 = 0;

3tgx - 5/tgx + 14 = 0;

1. Выполним подмену tgx = а:

3а - 5/а + 14 = 0;

(3а + 14а - 5)/а = 0;

3а + 14а - 5 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = 14 - 4 * 3 * ( - 5) = 196 + 60 = 256;

D 0, означает:

t1 = ( - b - D) / 2a = ( - 14 - 256) / 2 * 3 = ( - 14 - 16) / 6 = - 30 / 6  = - 5;

t2 = ( - b + D) / 2a = ( - 14 + 256) / 2 * 3 = ( - 14 + 16) / 6 = 2 / 6  = 1/3;

1. Если а1 = - 5:

tgx =  - 5;

х = arctg( - 5) + n, n  Z;

х1 = - arctg(5) + n, n  Z;

Если а2 = 1/3:

tgx =  1/3;

х2 = arctg( 1/3) + n, n  Z;

Ответ: х1 = - arctg(5) + n, n  Z, х2 = arctg( 1/3) + n, n  Z.