найдите значения а, при каждом из которых система имеет ровно три

Первое уравнение системы задает окружность радиуса 3 с центром в точке (3,4)

2-ое уравнение - смещенный на единицу ввысь график модуля x, который можно двигать на лево или на право меняя значения параметра (глядите чертеж в прикр. файлах)

Становится понятно, что при смещении на право графика модуля наступит таковой момент, при котором левая его ветвь будет дотрагиваться окружности... После этого момента, графики модуля и окружности будут иметь 4 точки скрещения. Продолжая двигаться на право, придем к значению , которое, как нетрудно сообразить, соответствует трем точкам скрещения. В конце концов, дойдем до такого значения параметра, при котором правая ветвь станет касательной к окружности, опять будет 3 общие точки. Таким образом надобно отыскать при каких значениях параметра наши прямые/ветки являются касательными к окружности.

Из уравнения окружности выделим нижнюю часть, нам занимательна только она, ибо только ее дотрагиваются прямые:

Потом найдем таковой параметр, при котором уравнения:

и

имеют единственные решения. Они сводятся к квадратным:

и

Квадратные уравнения имеют единственное решение при нулевом дискриминанте (подходит случаю касания графиков). Осмотрим досконально второе выражение, 1-ое делается аналогично. Его дискриминант:

Получили два значения параметра, только одно из их верное. Как избрать? Т.к. параметр отвечает за смещение влево/на право графика модуля относительно точки (0,1), то отрицательное значение сместит наш график (вершину угла интеллигентного оранжевой ломаной на чертеже, если буквально) на отрицательную часть оси x, что, явно, абсолютно ошибочный случай.

Таким же образом обретаем из первого выражения

Итого получили всего 3 значения параметра при которых система имеет ровно три решения.