Для чего векторам базис, какая его роль ?Без базиса нельзя разве построить

Векторам базис не нужен, вектор это что-то, существующее раздельно от базиса. Но когда идёт речь о координатах вектора, тогда уже понятие базиса значительно.

В физике любому перемещению можно поставить в соответствие вектор перемещения вектор, объединяющий начало и конец перемещения. Для того, чтоб нарисовать таковой вектор, координаты либо базис не нужны: довольно уметь соединять две точки. Даже ложить вектора можно без познания о каком-то "базисе": просто построй 2-ой вектор из конца первого и проведи новый вектор из начала первого перемещения в новый конец. 

Но может возникнуть вопрос, как обозначить вектор так, чтобы потом по этой записи можно было вернуть сам вектор. Здесь на помощь прибывает идея: возьмём некоторый набор векторов  и запишем вектор x в виде линейной композиции этих векторов: . Тогда заместо того, чтоб рисовать вектор, можно просто записать числа 1, 2, ..., n, и, зная набор векторов, по которому мы разложили вектор, этот вектор можно будет просто вернуть.

Остаётся только необходимым образом избрать вектора ei. Понятно, что их можно избрать различными методами, но в любом случае охото, чтоб: 1) любой вектор можно было разложить по этим векторам и 2) чтоб такое разложение было единственным. Если набор векторов удовлетворяет таким требованиям, его называют базисом.

Один из естественных методов выбрать базис в трёхмерном пространстве  это брать обыденную декартову систему координат, навести вдоль осей единичные отрезки i, j, k и записывать координаты вектора в этом базисе: записи (a, b, c) соответствует вектор x = ai + bj + ck.

Этот же вектор можно записать и в ином базисе. Тогда координаты вектора вообщем разговаривая будут иными. Но сам вектор от этого не обменяется.