обосновать,что при любом натуральном n n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6

Число делится на 6, когда оно делится на 2 и на 3.

n + 3n - n - 3n = n(n + 3n - n - 3) = n(n + 3)(n + 1)(n - 1)

Приобретенное творение включает в себя три поочередных естественных числа:
                         (n - 1)*n*(n + 1)
Из 3-х последовательных натуральных чисел одно непременно делится на 3, как следует и все творение будет кратно трем.
Из этих же 3-х поочередных естественных чисел, как минимум, одно будет четным, как следует и все произведение будет четным, т.е. кратным двум, самостоятельно от величины (n + 3).
Таким образом, мы обосновали, что исходное выражение кратно трем и, сразу, кратно двум при любом естественном n, следовательно, оно делится на 6, что и требовалось обосновать.

P.S. Для варианта малого натурального n = 1 все выражение обращается в нуль. Так как при делении нуля на любое (не непременно натуральное) число выходит нуль (целое число), то можно утверждать, что нуль кратен любому числу, в том числе и 6.