В конус с образующей 66 и вышиной 12 вписан куб. Найдите

Куб КLMNKLMN вписан в конус ( см. набросок).
Верхушка куба
К лежит на образующей SC,
L  - на образующей SB,
M - на образующей SD,
N -  на образующей SA
АВ и СD - взаимно-перпендикулярные поперечникы основания конуса,
плоскость SAB плоскости SCD

KLMN- квадрат. Обозначим сторону квадрата
 КL=LM=MN=NL=a
По аксиоме Пифагора диагонали квадрата  КM=LN=a2.

Радиус основания конуса найдем из прямоугольного треугольника ASO, интеллигентного вышиной, образующей и радиусом:
R=(66)-12,
R=62
AO=BO=CO=DO=62,
АВ=СD=2R=122- поперечник окружности

Треугольник ANN подобен треугольнику SAO по двум углам:

- общий.

Из подобия треугольников:
AN:AO=NN:SO
AN:62=a:12    AN=a2/2.
В силу симметрии AN=LB=a2/2

AN+NL+LB=AB

a2/2 +a2+a2/2=122
2а2=122.
а=6
V(куба) = а=6=216 куб. ед.

Проведем и осмотрим осевое сечение конуса, проходящее через одну из боковых ребер куба, получится равнобедренный треугольник в который вписан прямоугольник две стороны (боковые) которого одинаковы ребру куба, а две другие- диагонали основания куба. (см. фото)
1. По т. Пифагора получим АО=62
2. Пусть ребро куба- х, тогда диагональ основания х2
3. треугольник BLP подобен треугольнику ВАО
4. из подобия составим пропорцию, дела подходящих сторон:
(х2:2)/62=(12-x)/12
6х2=722-6х2
12х2=722
x=6
V=6=216