Синтаксический разбор предложения-он занимался изучением памятников древнерусской и славянской письменности.

Предложение повествовательное, не восклицательное. Грамматическая основа: он занимался. Простое, двусоставное (имеет и подлежащее, и сказуемое), распространенное, полное.

Он подлежащее, выраженное личным местоимением;
занимался сказуемое, выраженное глаголом прош. медли в ед. ч.;
исследованием прибавление, выраженное существительным ср. рода в ед. ч.;
памятников добавление, выраженное существительным м. рода в ед.ч.;
древнерусской, славянской определения, выраженные прилагательными дамского рода, в ед.ч.;
и соединительный альянс;
письменности прибавленье, выраженное существительным ж. рода в ед.ч.