Какое из этих слов исторически не родственно остальным? Полномочия, возможность. Могучий.

На 1-ый взор всегда кажется, что многие слова не имеют ничего общего друг с приятелем. Но, если поразмыслить, можно осознать, что в современном языке безгранично много слов, которые произошли от одного предка, то есть 1-го корня. У языковедов даже существует теория о том, что весь язык произошел от достаточно малого количества корней, которые со временем видоизменялись.
В нашем случае все слова, кроме заключительного, можно именовать однокоренными. Каждое из слов "возможности", "возможность", "могучий", "помощник" произошли от слова "мочь", а вот слово "мощеный" произошло от слова "мостить".