обоснуйте что сумма делится на 5: 1^3+2^3+3^.....+9^3

При строительстве числа в ступень - у степени тот же остаток при разделеньи на иные числа, что и у начального числа.
1 делится на 5 с остатком 1
2 делится на 5 с остатком 2
3 делится на 5 с остатком 3
4 делится на 5 с остатком 4
5 делится на 5 с остатком 0
6 делится на 5 с остатком 1
7 делится на 5 с остатком 2
8 делится на 5 с остатком 3
9 делится на 5 с остатком 4
Сумма чисел делится на число m, если сумма остатков при делении на m слагаемых делится на m. 
Для нашего варианта -
1+2+3+4+0+1+2+3+4=20. Т.к. 20 делится на 5, то данная сумма также будет делиться на 5, ч. и т. д.