Which is the most famous bridge over / on / across

Which is the most famous bridge OVER the Thames?

Bridge over the river - мост через реку, причём мост арочного типа и довольно высочайший (как и, фактически, Tower Bridge, самый известный мост Темзы). Предлог OVER используется в словосочетаниях с мостами чаще всего.

Bridge on the river - мост на реке, то есть в каком-либо её месте. В данном случае тоже подходит, так как имеет место выбор из нескольких мостов на одной и той же реке.

Bridge across the river - мост через реку, плоский и сделанный специально, чтоб реку пересекать. В данной ситуации малоприменим.