Окружность, вписанная в трапецию ABCD, дотрагивается ее боковых сторон AB и

а) Пусть окружность дотрагивается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, потому lt;BAO+lt;ABO=(lt;BAD+lt;ABC)/2=90

Означает треугольник AOB прямоугольный. Подобно, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y

MO=AM*MB=22x=NO=CN*ND=3y

Отсюда у=2х

Следовательно

BK=BM=x

AL=AM=8x

CK=CN=2x

DL=DN=4x

BC=BK+KC=3x

AD=AL-LD=12x

ОтсюдаAD=4BC

Так как касательные к окружности из одной точки одинаковы, то:
ВС=МВ+CN.
AD=8MB+2CN.
BC+AD=9MB+3CN.  AD=6MB+3BC-BC либо
AD=8MB+2CN=6MB+2BC.
Треугольники АВО и СОD - прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90 - свойство).
Высоты ОМ и ОN (одинаковые радиусу) одинаковы.
По свойству вышины из прямого угла имеем:
ОМ=(22)*МВ;  ОN=2*CN. Либо
2МВ=СN. Тогда 6МВ=2МВ+4МВ=2МВ+2CN = 2ВС.
AD=6MB+2BC (доказано выше).
AD=2BC+2BC==4ВС, что и требовалось доказать.