Дан прямоугольный треугольник с периметром 24,и площадью также 24. Отыскать все

Пусть АВС - прямоугольный треугольник, угол С - прямой, АВ - гипотенуза, АС и ВС - катеты. Пусть АС = х, ВС = у, АВ = z.
1. Периметр:
x + y + z = 24.
По теореме Пифагора:
z = (x^2 + y^2).
Таким образом:
x + y + (x^2 + y^2) = 24.
Площадь:
ху / 2 = 24.
2. Система уравнений с двумя неизвестными:
x + y + (x^2 + y^2) = 24;
ху / 2 = 24.
Во втором уравнении системы выразим х через у:
х = 2*24 / у;
х = 48/у.
Приобретенное выражение подставим в первое уравнение системы:
48/у + y + ((48/у)^2 + y^2) = 24;
(48 + y^2) / y + (2304/у^2 + y^2) = 24;
((2304 + y^4)/у^2) = 24 - (48 + y^2) / y;
((2304 + y^4)) / у = (24у - 48 - y^2) / у;
у(2304 + y^4) = у(24у - 48 - y^2);
(2304 + y^4) = - y^2 + 24у - 48;
((2304 + y^4))^2 = (- y^2 + 24у - 48)^2;
2304 + y^4 = y^4 - 48y^3 + 672y^2 - 2304y + 2304;
0 = - 48y^3 + 672y^2 - 2304y;
48y^3 - 672y^2 + 2304y = 0;
y^3 - 14y^2 + 48у = 0;
y^2 - 14у + 48 = 0.
Дискриминант:
D = (-14)^2 - 4*1*48 = 196 - 192 = 4.
у1 = (14 + 2)/2 = 16/2 = 8.
у1 = (14 - 2)/2 = 12/2 = 6.
Найдем х:
х1 = 48/8 = 6;
х2 = 48/6 = 8.
Таким образом:
АС = х = 6 см;
ВС = у = 8 см.
3. Найдем z:
z = (x^2 + y^2) = (6^2 + 8^2) = (36 + 64) = 100 = 10.
Тогда АВ = z = 10 см.
Ответ: АС = 6 см, ВС = 8 см, АВ = 10 см.