В прямоугольном треугольнике вышина и медиана,проведенные к гипотенузе одинаковы 24 и

http://bit.ly/2qGi7AT
АВС - прямоугольный треугольник, угол С = 90 градусов, СН = 24 см - вышина, СМ = 25 см - медиана.
1. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что медиана, падающая на гипотенузу, одинакова половине гипотенузы. Тогда:
СМ = АВ/2;
АВ/2 = 25;
АВ = 25*2 (по пропорции);
АВ = 50 см.
2. Вышина - это среднее пропорциональное 2-ух образованных ею отрезков гипотенузы, то есть:
CH^2 = AH*BH.
Пусть АН = х, а ВН = у, тогда:
ху = 24^2;
ху = 576.
Составим систему линейных уравнений:
ху = 576;
х + у = 50.
Во втором уравнении выразим х через у:
х = 50 - у.
Приобретенное выражение подставим в 1-ое уравнение системы:
(50 - у)у = 576;
50у - у^2 - 576 = 0;
у^2 - 50у + 576 = 0.
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
D = b^2 - 4ac;
D = 50^2 - 4*1*576 = 2500 - 2304 = 196.
у = (-b +/- D) / 2a.
у1 = (-(-50) + 196) / 2*1 = (50 + 14) / 2 = 64/2 = 32.
у2 = (-(-50) - 196) / 2*1 = (50 - 14) / 2 = 36/2 = 18.
Тогда:
х1 = 50 - у1 = 50 - 32 = 18.
х2 = 50 - у2 = 50 - 18 = 32.
Таким образом АН = 18 см либо 32 см, ВН = 32 см либо 18 см. Пусть АН = 18 см, а ВН = 32 см.
3. Каждый катет - это среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:
AC^2 = AB*AH;
BC^2 = AB*BH.
Найдем длины катетов АС и ВС:
AC = AB*AH = 50*18 = 900 = 30 (см);
BC = AB*BH = 50*32 = 1600 = 40 (см).
4. Периметр АВС равен:
Р = АВ + ВС + АС;
Р = 50 + 40 + 30 = 120 (см).
Ответ: Р = 120 см.