Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник если каждый угол равен 135 градусов?

Возьмем произвольный выпуклый многоугольник, количество сторон и углов которого обозначим через n. Известно, что все углы этого многоугольника одинаковы между собой и сочиняют по 135 градусов.

В задаче нужно отыскать количество сторон n этого многоугольника.

Сумма углов многоугольника

Для решения задачки:

• Запишем формулу суммы углов многоугольника;
• Подсчитаем сумму углов по условию задачки;
• Решим приобретенное уравнение.

Возьмем снутри многоугольника точку О и соединим ее со всеми верхушками. Получим n треугольников, причем, одна из вершин у каждого из них находится в точке О и одной из сторон является сторона многоугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника одинакова 180. Соответственно, сумма внутренних углов всех n треугольников будет одинакова (n * 180).

Явно, что эта сумма одновременно равна сумме всех углов многоугольника плюс полный угол в 360 или оборот вокруг точки О. Разговаривая по другому,

n * 180 = + 360;

Отсюда получаем, что сумма всех углов многоугольника равна:

= n * 180 - 360 = (n - 2) * 180;

Вычисление числа сторон многоугольника

С иной стороны, по условию задачи, каждый угол многоугольника равен 135. Как следует, сумма всех внутренних углов многоугольника одинакова (n * 135).

Получаем уравнение:

(n - 2) * 180 = n * 135;

Решая это уравнение, получаем ответ:

(n - 2) * 180 = n * 135;

n * 180 - 360 = n * 135;

n * (180 - 135) = 360;

45 * n = 360;

n = 8;

Ответ: количество сторон многоугольника одинаково 8

По условию все углы выпуклого многоугольника одинаковы 135, тогда этот многоугольник правильный.

Градусная мера угла правильного многоугольника рассчитывается по формуле:

= (n - 2)/n * 180,

где угол правильного многоугольника, n количество сторон правильного многоугольника.

Подставим данные по условию значения в формулу:

(180 * (n 2))/n = 135;

180 * (n 2) = 135 * n (по пропорции);

180 * n - 180 * 2 = 135 * n;

180 * n - 135 * n = 180 * 2;

45 * n = 360;

n = 360/45;

n = 8.

Ответ: выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 135, имеет 8 сторон.