В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в

Возьмем трапецию ABCD с основаниями AD и BC, AD gt; BC, и боковыми гранями AB и CD. По условию задачки:

AD = a = 12 см;

BC = b = 4 см;

Точка О является скрещением диагоналей АС и BD. Площадь S треугольника AOD равна 45 см. В задачке нужно вычислить площадь треугольника BOC.

Подобие треугольников

В случайной трапеции треугольники AOD и BOC подобны. Вправду:

• Углы

Углы ВОС и AOD одинаковы, т.к. они являются вертикальными. Углы ВСА и САD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных оснований трапеции ВС и AD секущей АС. Как следует, треугольники ВОС и AOD сходственны и их сходственные стороны пропорциональны. Отношение длин сходственных сторон одинаково коэффициенту подобия:

k = AD / BC = 12 / 4 = 3 - коэффициент подобия треугольников ВОС и AOD.

Знаменито, что отношение площадей подобных треугольников одинаково квадрату их коэффициента подобия, т.е. SAOD / SBOC = k2. Отсюда, площадь треугольника BOC SBOC = SAOD / k2 = 45 / 32 = 45 / 9 = 5 см2.