В равнобедренной трапеции вышина и основание относятся как 3:5:13,а боковая сторона

Заменим соотношение вышины, и оснований через х.
Вышина Н = 3 * х; основание в = 5 * х; основание а = 13 * х. Боковая сторона с = 15 см.

Площадь трапеции определяется по формуле:
S = (а + в) * H / 2 = (5 + 13) * x * 3 * x / 2 = 27 * x ^ 2.
Нужно найти а, в, и Н или х.

Вышина Н боковая сторона с, и половина разности оснований сочиняют прямоугольный треугольник, в котором справедлива теорема Пифагора:
c ^ 2 = H ^ 2 + [(а - в) / 2] ^ 2;
15 ^ 2 = (3 * x) ^ 2 + [(13 * x - 5 * x)] / 2 ^ 2;

225 = 9 * x ^ 2 + (4 * x) ^ 2; 225 = (9 + 16) * x ^ 2 ; x ^ 2 = 9 ;
x = (9) = 3.

Определим S = (а + в )* Н / 2 = 27 * x ^ 2 = 27 * 9 = 243 (см.кв).