В трапеции ABCD точка M-середина большего основания AD, точка P-середина боковой

Для решения рассмотрим набросок (https://bit.ly/2MNEdJ3).

Так как точка Р есть середина отрезка АВ, то можно провести среднюю линию трапеции РР1.

Из точки Р проведем перпендикуляр РН к основанию АД трапеции, а из точки С перпендикуляр СС1.

По свойству средней полосы трапеции, она разделяет пополам хоть какой отрезок, заключенный меж основаниями трапеции, следовательно СО = С1О = СС1 / 2.

Так как РН параллельна ОС1, как перпендикуляры к АД, а РО параллельна НС1, то РНОС1 прямоугольник и РН = ОС1 = ОС = СС1 / 2.

Точка М, по условию, середина АД, следовательно, АМ = МД = АД / 2.

Определим площадь треугольника АРД.

Sард = АД * РН / 2.

Определим площадь треугольника АРД.

Sсмд = МД * СС1 / 2.

Подставим в это равенство значения МД = АД / 2, и СС1 = 2 * РН.

Sсмд = (АД / 2) * 2 * РН / 2 = АД * РН / 2.

Получается, что Sард = Sсмд = АД * РН / 2.

В площади обеих треугольников входит площадь треугольника КМД, тогда площадь четырехугольника АРКМ равна:

Sаркм = Sард Sкмд.

Площадь треугольника КСД одинакова:

Sксд = Sсмд Sкмд.

Так как мы доказали, что Sард = Sсмд, то Sксд = Sард Sкмд, а означает и одинакова Sаркм.

Sаркм = Sксд, что и требовалось обосновать.