правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой одинаковы 18 см, пересечена плоскостью,

Для решения осмотрим рисунок (https://bit.ly/2DzFmnw).

Для начала рассмотрим не усеченную пирамиду. Проведем диагонали АС и ВД в основании пирамиды, которым является квадрат со стороной 18 см.

Определим длину АС.

АС = АД * 2 = 18 * 2 см.

Диагонали квадрата, в точке скрещения делятся напополам. ОА = АС / 2 =  18 * 2 / 2 = 9 * 2 см.

Из прямоугольного треугольника АОS, по теореме Пифагора определим катет SO.

SO² = SA² AO² = 182 (9 * 2)² = 324 162.

SO = 9 * 2 см.

Проведем апофему SH и по теореме Пифагора из треугольника ASH определим ее длину.

SH2 = AS2 AH2 = 182 92 = 324 91 = 243.

SH = 9 * 3 см.

Так как сечение пирамиды параллельно основанию, то оно отсекает от основной пирамиды сходственную ей пирамиду, а так оно проходит через середину бокового ребра, то коэффициент подобия равен двум.

Тогда вышина ОО1 усеченной пирамиды равна половине высоты SO, а апофема НН1 одинакова половине SH.

ОО1 = 9 * 2 / 2 = 4,5 * 2 см.

НН1 = 9 * 3 / 2 = 4,5 * 3 см.

Ответ: Высота усеченной пирамиды одинакова 4,5 * 2 см, апофема одинакова 4,5 * 3 см.