В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена вышина LP.

Для решения рассмотрим набросок (https://bit.ly/2VaXTuW).

Из прямоугольных треугольников KLP и LMP выразим гипотенузы KL и ML.

KL² = KP² + LP².

ML² = MP² + LP².

Сложим, левые и правые доли равенств.

KL² + ML² = KP² + MP² + 2 * LP². (1).

Из прямоугольного треугольника KLM выразим гипотенузу КМ.

КМ² = KL² + ML².

Подставим равенство в уравнение 1.

КМ² = KP² + MP² + 2 * LP².

Так как КМ = (КР + МР), то

(КР + МР)² = KP² + MP² + 2 * LP².

КР² + 2 * КР * МР + МР² = KP² + MP² + 2 * LP².

2 * LP² = 2 * KP * MP.

LP² = KP * MP, что и требовалось обосновать.