В правильной четырехугольной пирамиде вышина 12 см., а вышина боковой грани

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2EIPqI4).

Вышина боковой грани, высота пирамиды и отрезок ОН образовывают прямоугольный треугольник РОН. Тогда, по аксиоме Пифагора, ОН² = РН² ОР² = 225 144 = 81.

ОН = 81 = 9 см.

Так как точка О середина АС,  точка Н середина ВС, то ОН есть средняя линия треугольника АВС, тогда АВ = 2 * ОН = 2 * 9 = 18 см.

Определим длину диагонали АС квадрата АВСД.

АС² = 2 * АВ² = 2 * 324 = 648.

АС = 648 = 18 * 2.

Тогда ОС = 18 * 2 / 2 = 9 * 2 см.

В прямоугольном треугольнике РОС, по аксиоме Пифагора, определим длину гипотенузы РС.

РС² = РО² + ОС² = 144 + 162 = 306.

РС = 306 = 3 * 34 см.

Ответ: Длина боковой стороны равна 3 * 34 см.