В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C знамениты гипотенуза и

Для решения осмотрим набросок (http://bit.ly/2VnDkPV).

Пусть длина отрезка АН = Х см, тогда длина отрезка ВН = (20 Х) см.

Докажем подобие треугольников ВСН и АСН.

Пусть угол АСН = , тогда угол АСН = (90 ). Угол ВСН = (90 (90 )) = .

Тогда прямоугольные треугольники АСН и ВСН сходственны по острому углу.

В сходственных треугольниках: СН / ВН = АН / СН.

СН² = ВН * АН.

64 = (20 Х) * Х.

Х² 20 * Х + 64 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х1 = 4 см.

Х2 = 16 см.

Наименьший катет АС будет, если отрезок АН = Х1 = 4 см.

Тогда АС² = СН² + АН² = 64 + 16 = 80.

АС = 4 * 5 см.

Ответ: Длина наименьшего катета равна 4 * 5 см.