объем правильной четырехугольной пирамиды равен 4см3 а площадь боковой поверхности

Во-первых, определимся с расстоянием h от вершины основания до обратной боковой грани. Оно (h) одинаково расстоянию от середины стороны основания до апофемы  А (апофема - высота боковой грани).

Обозначим  а - длину стороны основания, Н - высоту пирамиды, - угол меж апофемой и основанием, - угол между вышиной пирамиды и апофмой.

Объём пирамиды V = 1/3 Ha = 4, откуда

Н = 12/а   (1)

Площадь боковой поверхности: Sбок = 40,5Аа = 8, откуда

А = 4/а       (2)

Сейчас осмотрим два прямоугольных тр-ка:

В 1-м тр-ке гипотенуза А, катет Н лежит против угла , катет 0,5а лежит против угла .

Во 2-м тр-ке гипотенуза а, катет h лежит против угла , а угол меж катетом h и гипотенузой а, равен углу между гипотенузой А  и катетом Н 1-го тр-ка, т.к. это острые углы с обоюдно перпендикулярными гранями, т.е. угол меж катетом h и гипотенузой а равен .

Рассматриваемые прямоугольные тр-ки сходственны по двум одинаковым углам.

Против одинаковых углов лежат пропорциональные стороны:

А : а = Н : h

Подставим в эту пропорцию Н из (1) и А из (2):

4/а : а  = 12/а : h

1/а = 3/(аh)

Откуда h = 3а/а

h = 3.

Ответ: расстояние равно 3 см.

V=(1/3)Sосн*h,  (1/3)a^2*h=4,  a^2*h=12, где а - сторона основания, h - высота пирамиды. Sбок=2da, 2da=8,  da=4, где d - апофема пирамиды. Расстояние от веришины основания пирамиды - это перпендикуляр, проведенный к обратной боковой грани. Заменим его на перпендикуляр из прямой, проведенной через эту вершину, параллельной боковой грани - это будет сторона основания. И удобнее всего провести этот перпендикуляр из середины стороны основания - это будет перпендикуляр к апофеме. Тогда две апофемы обратных граней и отрезок, объединяющий их концы - образуют равнобедренный треугольник. Его площадь одинакова: с одной стороны (1/2)a*h, с иной стороны (1/2)x*d, где x - разыскиваемое расстояние. Означает, a*h=x*d. Унас есть два равенства: a^2*h=12 и d*a=4. Разделим 1-ое на 2-ое, после сокращения получим  (a*h)/d = 3. Откуда: a*h = 3*d. Сравним с заключительным  выделенным равенством. Ясно, что x=3 - это и есть разыскиваемое расстояние