Из верхушки A прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АМ.

Обозначим разыскиваемый перпендикуляр х, стороны прямоугольника а и в.
Тогда на основе прямоугольных треугольников с общим катетом МА = х имеем: 
МВ = 15 = х + в,               (1)
МС = 24 = х + а + в,        (2) 
MD = 20 = х + а.               (3)
Вычтем из уравнения (2) уравнение (3):
в = 24 - 20 = (24 - 20)(24+20) = 4*44 = 176.
Из уравнения (1) получаем х = 15 - в = 225 - 176 = 49.
Отсюда ответ: длина перпендикуляра АМ = 49 = 7.

АВСД - прямоугольник,  АМ пл. АВСД    АМАВ и АМАД .
МВ=15, МС=24, МД=20
Так как МВ - наклонная, а АМАВ , то АВ - проекция наклонной МВ на пл. АВСД. Причём, АВВС. По теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная МВВС    МВС - прямоугольный,