Обоснуйте, что всякий треугольник можно разрезать на 3 наименьших тупоугольных треугольника.

1. Соединим все верхушки треугольника с точкой скрещения биссектрис. Докажем, что разрезав по получившимся отрезкам наш треугольник, мы получим три тупоугольных. Пусть углы треугольника а,б,с. Так как сумма всех углов треугольника меньше 180, то сумма 2-ух углов тем более: а+бlt;180, означает а/2 +б/2lt;90. Рассмотрим один из 3-х треугольников, получившихся после разрезания. В нем как раз один угол а/2, 2-ой б/2, а значит 3-ий угол больше 90 градусов, означает треугольник тупоугольный. Подобно, два оставшихся треугольника тоже тупоугольные.

2. Чтоб обосновать, что треугольник можно разрезать на 2018 тупоугольных треугольников, докажем, что его можно разрезать на хоть какое количество ( но больше 2-ух) тупоугольных треугольников. Для этого сначала докажем, что хоть какой тупоугольный треугольник можно разрезать на два тупоугольных. Вправду, проведя отрезок из острого угла к середине обратной стороны, мы получим два тупоугольных ( один, так как он содержит угол, вначале тупой, и 2-ой треугольник имеет угол, бОльший чем изначальный тупой).

Так, мы умеем делить любой треугольник на три тупоугольных и умеем разделять любой тупоугольный на два тупоугольных. Берём случайный треугольник и делим на три тупоугольных. Далее, любой из получившихся тупоугольных разделяем на два тупоугольных. Теперь исходный треугольник разбит на 4 тупоугольных. Любой из их можно вновь поделить на два тупоугольных. Таким образом, мы можем с каждым разрезом получать на один треугольник больше, а означает рано либо поздно, получим 2018 треугольников.

3. Осталось доказать, что нельзя поделить произвольный треугольник на два тупоугольных. Это явно для правильного треугольника: проводя из верхушки отрезок на обратную сторону, один из 2-ух получившихся треугольников всегда будет остроугольным

Ответ: N от трёх до бесконечности