могут ли 5 окружностей попарно дотрагиваться друг друга.

Первое, что прибывает на разум- окружности с центрами в верхушках пятиугольника. Красиво! Но это неверное решение: любая (любая) пара окружностей должна дотрагиваться друг друга. И Cos20093 отдал полное и исчерпывающее решение.

Можно даже сделать так, что Неисчерпаемо МНОГО окружностей будут попарно дотрагиваться друг друга. 
Надобно брать какую-то прямую  на плоскости, избрать на ней точку А.
Вот сейчас я рассматриваю огромное количество окружностей, проходящих через эту точку А, и центр их лежит на этой прямой .
Неважно какая пара окружностей из этого множества имеет точку касания в избранной точке А. Их можно нарисовать 5, а можно сколько угодно.