Обоснуйте что разность квадратов 2-ух случайных натуральных чисел каждое из которых

1-ое число x, 2-ое число y. Эти числа не делятся нацело на 3, тогда
x = 3p + r,
y = 3q + r,
причем r и r не обращаются в нуль и равны (каждый по отдельности) либо 1, или 2. (r и r - это остатки от разделения на 3 чисел x и y). p и q - какие-то целые числа.
Итак, рассмотрим разность квадратов x и y.
x - y = (3p + r) - (3q + r) = 9*p + 6pr + r - (9*q + 6qr + r) = 
 = 3*( 3p+ 2pr - 3q - 2qr ) + (r - r) = 3*T + R,
где T = 3p+ 2pr - 3q - 2qr, - какое-то ЦЕЛОЕ ЧИСЛО.
R = (r - r),
осмотрим все вероятные случаи для R в зависимости от r и r.
r = 1, r = 1, тогда R = 1 - 1 = 0. Тогда x - y = 3*T, то есть (x - y) делится нацело на 3.
r = 1, r = 2, тогда R = 1 - 4 = -3, и тогда x - y = 3*T - 3 = 3*(T-1), где
(T-1) - вновь целое число (т.к. T - целое). То есть (x - y) делится нацело на 3.
r = 2, r = 1, тогда R = 4 - 1 = 3, и (x - y) = 3*T + 3 = 3*(T+1), где
(T+1) вновь какое-то целое число и (x - y) делится нацело на 3.
r = 2, r = 2, тогда R = 4 - 4 = 0, и (x - y) = 3*T, что означает, что 
(x - y) делится нацело 3.
Итак, во всех случаях (x - y) делится нацело на 3.
Ч.Т.Д.