Решите пожалуйста с обьяснениями

Обретаем первую производную и приравниваем её нулю. Корни будут экстремумами. Остается проверить на минимум.
y' = 4x^3 + 4x^2 + 16x + 16 = 0
Решаем. Поначалу сократим на 4, потом сгруппируем и вынесем за скобки:
x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0;  x^2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0; (x^2 +4) (x + 1) = 0
Два корня надуманных, один вещественный: x = -1
Проверяем, как меняет знак производная в этой точке
Слева производная меньше нуля (если подставить x=-1, то y'(-2)lt;0), справа производная больше нуля (к примеру, y'(0)gt;0).
Итак, в точке x = -1 производная меняет символ с минуса на плюс, как следует, это минимум.

Y=x^4+(4/3)x^3+8x^2+16x+7/3
Найдем производную нашей функции
y'=4x^3+4x^2+16x+16
4x^3+4x^2+16x+16=0
4x^2(x+1)+16(x+1)=0
(4x^2+16)(x+1)=0
4x^2+16=0                                                                x+1=0
x^2=-4                                                                       x=-1
(Здесь пара комплексно сопряженный корней, не будем их трогать)
Подставим наш единственный корень (x=-1) в исходную функцию тем самым найдем значение функции
y(-1)=-6
Для проверки выполним достаточное условие минимума функции, для этого нужно отыскать вторую производную
y''=12x^2+8x+16
y''(-1)=20gt;0 =gt; значит x=-1, точка минимума.
Ответ: наименьшее значение функции в точке x=-1.